Question

4．如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，且AB=2CD，侧面ADE为等边三角形，侧面ABE为等腰直角三角形，且角A为直角，且平面ABE⊥平面ADE．
（Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求平面ADE和平面BCE所成二面角（锐角）的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AE中点M，BE中点N，连结DM，MN，NC，推导出四边形CDMN是平行四边形，由此能证明平面ABE⊥平面BCE．
（Ⅱ）取AD中点O，BC中点F，连结OE、OF，以O为原点，OD，OF，OE分别为x，y，z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出平面ADE和平面BCE所成二面角（锐角）的大小．

解答 证明：（Ⅰ）取AE中点M，BE中点N，连结DM，MN，NC，
∵△ADE为等边三角形，M为AE中点，
∴DM⊥AE，
又∵平面ADE⊥平面ABE，平面ADE∩平面ABE，DM?平面ADE，
∴DM⊥平面ABE，
∵MN为△EAB的中位线，∴MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
又∵CD$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，∴MN$\underset{∥}{=}$CD，
∴四边形CDMN是平行四边形，
∴CN∥DM，∴CN⊥平面ABE，
又CN?平面BCE，∴平面ABE⊥平面BCE．
解：（Ⅱ）取AD中点O，BC中点F，连结OE、OF，
∵平面ADE⊥平面ABE，平面ADE∩平面ABE=AE，AB?平面ABE，AB⊥AE，
∴AB⊥平面ADE，又AB∥OF，
∴OF⊥平面ADE，∴OF⊥OD，OF⊥OE，
又OE⊥OD，∴OD，OE，OF两两垂直，
以O为原点，OD，OF，OE分别为x，y，z轴，建立空间直角系，
设OD=a，则B（-a，2a，0），C（a，a，0），E（0，0，$\sqrt{3}a$），
$\overrightarrow{BC}$=（2a，-a，0），$\overrightarrow{BE}$=（a，-2a，$\sqrt{3}a$），
设平面BCE的半向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2ax-ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=ax-2ay+\sqrt{3}az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，$\sqrt{3}$），
由OF⊥平面ADE，得平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，），
设平面ADE和平面BCE所成二面角（锐角）的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{4}$．
∴平面ADE和平面BCE所成二面角（锐角）的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．