Question

9．如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的$\sqrt{2}$倍，点P在侧棱SD上，且SP=3PD．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若$AB=\sqrt{2}$，求三棱锥D-ACP的体积；
（3）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC，若存在，求$\frac{SE}{EC}$的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）法一（几何法）：连BD，设AC交BD于O，则SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，根据线面垂直的判定定理可知AC⊥平面SBD，SD?平面SBD，根据线面垂直的性质可知AC⊥SD．
法二（向量法）：以O为原点，以$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{OS}$分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC⊥SD．
（2）三棱锥D-ACP的体积V_D-ACP=V_P-ADC，由此能求出结果．
（3）求出平面PAC的一个法向量，利用向量法能求出当$\frac{SE}{EC}$=2时，BE∥平面PAC．

解答 证明：（1）证法一：（几何法）连结BD，设AC交BD于O，连结SO，
∵四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的$\sqrt{2}$倍，
∴SO⊥AC，SO⊥BD，
∵AC∩BD=O，∴SO⊥底面ABCD，
∵AC?底面ABCD，∴SO⊥AC．
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵SD?平面SBD，∴AC⊥SD．
证法二：（向量法）以O为原点，以$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{OS}$分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设设底面边长为a，则高SO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a．则S（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$a），D（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0），C（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），
$\overrightarrow{SD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}a$），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0），
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{SD}$=0，
∴AC⊥SD．
解：（2）∵$AB=\sqrt{2}$，∴SA=SB=SC=SD=2，
∵点P在侧棱SD上，且SP=3PD，∴P到平面ADC的距离h=$\frac{1}{4}PO=\frac{1}{4}\sqrt{4-1}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴三棱锥D-ACP的体积：
V_D-ACP=V_P-ADC=$\frac{1}{3}×h×{S}_{△ADC}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
（3）P（-$\frac{3\sqrt{2}}{8}$a，$\frac{\sqrt{6}}{8}$a），$\overrightarrow{OC}$=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0），$\overrightarrow{SD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}a$），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0），$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{3\sqrt{2}}{8}$a，0，$\frac{\sqrt{6}}{8}a$），
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{SD}$=0，$\overrightarrow{SD}•$$\overrightarrow{AP}$=0，
∴AC⊥SD，AP⊥SD，
∴平面PAC的一个法向量为$\overrightarrow{DS}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0，$\frac{\sqrt{6}}{2}a$），
在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．，
∵$\overrightarrow{DS}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0，$\frac{\sqrt{6}}{2}a$）是平面PAC的一个法向量，且$\overrightarrow{CS}$=（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{\sqrt{6}}{2}a$），
设$\overrightarrow{CE}$=t$\overrightarrow{CS}$（0≤t≤1），
$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}+t\overrightarrow{CS}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a，\frac{\sqrt{2}}{2}a（1-t），\frac{\sqrt{6}}{2}at$），
由$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DS}$=-$\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}at$=0，解得t=$\frac{1}{3}$，
∴当$\frac{SE}{EC}$=2时，BE∥平面PAC．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查满足线面平行的点的位置的确定，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．