Question

14．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.5{x}^{2}+22x（0≤x≤16）}\\{224（x＞16）}\end{array}\right.$，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：
（1）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；
（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？

Answer 1

分析 （1）先求得P（x），再由f（x）=Q（x）-P（x），由分段函数式可得所求；
（2）分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．

解答 解：（1）由题意得P（x）=12+10x，…（1分）
则f（x）=Q（x）-P（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.5{x}^{2}+22x-12-10x，0≤x≤16}\\{224-12-10x，x＞16}\end{array}\right.$
即为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.5{x}^{2}+12x-12，0≤x≤16}\\{212-10x，x＞16}\end{array}\right.$…（4分）
（2）当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）=212-160=52万元 …6 分
当0≤x≤16时，函数f（x）=-0.5x²+12x-12
=-0.5（x-12）²+60，
当x=12时，f（x）有最大值60万元．…9 分
所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．…10 分

点评 本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，正确求出分段函数式，求出各段的最值是解题的关键，属于中档题．