Question

19．已知函数f（x）=e^x-aex（a∈R，e是自然对数的底数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x∈R时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f'（x）=e^x-ea，由此利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性．
（2）由a＜0，a=0，a＞0，利用导数性质分类讨论，能求出a的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-eax，得f'（x）=e^x-ea．
当a≤0时，f'（x）=e^x-ea＞0，则f（x）在R上为增函数；
当a＞0时，由f'（x）=e^x-ea=e^x-e^1+lna=0，解得x=1+lna．
当x＜1+lna时，f'（x）＜0；当x＞1+lna时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，1+lna）上为减函数，
在（1+lna，+∞）上为增函数．
（2）结合（1），得：
当a＜0时，设a＜-1，则f（2a）=e^2x-ea•2a=e^2x-2ea²＜0，
这与“当x∈R时，f（x）≥0恒成立”矛盾，此时不适合题意．
当a=0时，f（x）=e^x，满足“当x∈R时，f（x）≥0恒成立”．
当a＞0时，f（x）的极小值点，也是最小值点，
即$f{（x）_{min}}=f（1+lna）={e^{1+lna}}-ea（1+lna）=-ealna$，
由f（x）≥0，得-ealna≥0，解得0＜a≤1．
综上，a的取值范围是[0，1]．

点评 本题考查函数的单调性的讨论，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．