Question

4．如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ABC=60°，AA₁=AC=2，A₁B=A₁D=2$\sqrt{2}$，点E在A₁D上．
（1）证明：AA₁⊥面ABCD．
（2）当$\frac{{A}_{1}E}{ED}$为何值时，A₁B∥平面EAC，并求出此时直线A₁B与平面EAC之间的距离．

Answer 1

分析 （I）利用勾股定理的逆定理可得：A₁A⊥AB；A₁A⊥AD．再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．
（II）①当$\frac{{A}_{1}E}{ED}$=1时，A₁B∥平面EAC．下面给出证明：连接BD，交AC于点O．利用三角形中位线定理可得：A₁B∥OE，再利用线面平行的判定定理即可证明A₁B∥平面EAC．
②由OE是△A₁BD的中位线，可得求出点D到平面EAC的距离即直线A₁B与平面EAC之间的距离．利用V_E-ACD=V_D-ACE，即$\frac{1}{3}×h•{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}×d•{S}_{△ACE}$，解出即可得出．

解答 （I）证明：∵AA₁=2，A₁B=A₁D=2$\sqrt{2}$，
∴${A}_{1}{A}^{2}+A{B}^{2}$=8=${A}_{1}{B}^{2}$，可得∠A₁AB=90°，
∴A₁A⊥AB；同理可得：A₁A⊥AD．
又AB∩AD=A，∴AA₁⊥面ABCD．
（II）①当$\frac{{A}_{1}E}{ED}$=1时，A₁B∥平面EAC．下面给出证明：连接BD，交AC于点O．
连接OE，则OE是△A₁BD的中位线，∴A₁B∥OE．
又A₁B?平面EAC，OE?平面EAC，
∴A₁B∥平面EAC．
②∵OE是△A₁BD的中位线，
∴求出点D到平面EAC的距离即直线A₁B与平面EAC之间的距离．
点E到平面ACD的距h=$\frac{1}{2}$AA₁=1．
S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$．
EC=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2=AC，AE=$\sqrt{2}$．
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∵V_E-ACD=V_D-ACE，
∴$\frac{1}{3}×h•{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}×d•{S}_{△ACE}$，
∴d=$\frac{1×\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直平行判定与性质定理、等边三角形的性质、等体积法、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．