Question

19．设f（x）=|x-1|+|x+1|，（x∈R）
（1）求证：f（x）≥2；
（2）若不等式f（x）≥$\frac{|2b+1|-|1-b|}{|b|}$对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角不等式证明：f（x）≥2；
（2）g（b）=$\frac{|2b+1|-|1-b|}{|b|}$≤$\frac{|2b+1-1+b|}{|b|}$=3，可得f（x）≥3，即|x-1|+|x+1|≥3，分类讨论，求x的取值范围．

解答 （1）证明：f（x）=|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥|1-x+x+1|=2；
（2）解：g（b）=$\frac{|2b+1|-|1-b|}{|b|}$≤$\frac{|2b+1-1+b|}{|b|}$=3，
∴f（x）≥3，即|x-1|+|x+1|≥3，
x≤-1时，-2x≥3，∴x≤-1.5，∴x≤-1.5；
-1＜x≤1时，2≥3不成立；
x＞1时，2x≥3，∴x≥1.5，∴x≥1.5．
综上所述x≤-1.5或x≥1.5．

点评 本题考查三角不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．