Question

13．设函数f（x）=|x-m|．
（Ⅰ）当m=1时，解不等式f（x）+f（2x）＞1；
（Ⅱ）证明：当x≥1时，f（x）+f（-$\frac{1}{2x}}$）≥$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当m=1时，把要解不等式f（x）+f（2x）＞1等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）证明：当x≥1时，利用绝对值三角不等式求得f（x）+f（-$\frac{1}{2x}}$）≥x+$\frac{1}{2x}$，再根据h（x）=x+$\frac{1}{2x}$ 在[1，+∞）上单调递增，可得h（x）≥h（1），从而证得不等式成立．

解答 解：（Ⅰ）当m=1时，不等式f（x）+f（2x）＞1，即|x-m|+|2x-2m|＞1．
令m（x）=|x-m|+|2x-2m|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2，x＜\frac{1}{2}}\\{x，\frac{1}{2}≤x＜1}\\{3x-2，x≥1}\end{array}\right.$，则不等式即$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2＞1}\\{x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{\frac{1}{2}≤x＜1}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{3x-2＞1}\\{x≥1}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜$\frac{1}{3}$，解②求得 x∈∅，解③求得x＞1．
综上可得，原不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{3}$，或x＞1 }．
证明：（Ⅱ）当x≥1时，f（x）+f（-$\frac{1}{2x}}$）=|x-m|+|-m-$\frac{1}{2x}$|≥|x-m+m+$\frac{1}{2x}$|=|x+$\frac{1}{2x}$|=x+$\frac{1}{2x}$．
由于h（x）=x+$\frac{1}{2x}$ 在[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（1）=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）+f（-$\frac{1}{2x}}$）≥$\frac{3}{2}$ 成立．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式，属于中档题．