题目内容

已知O是△ABC的外心，若AB=AC，∠CAB=30°，且
CO
=λ1
CA
+λ2
CB
，则λ1λ2=
 
．
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：如图所示，建立直角坐标系．不妨设△ABC外接圆的半径r=2．连接OC，OB，可得∠BOC=60°，△OBC是等边三角形．得到BC=2，OD=
3
．得到A(0，2+
3
)，B（-1，0），C（1，0），O(0，
3
)．再利用
CO
=λ1
CA
+λ2
CB
，即可得出．
解答： 解：如图所示，以底边BC所在直线为x轴，BC边的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
不妨设△ABC外接圆的半径r=2．
连接OC，OB，则∠BOC=60°．
∴△OBC是等边三角形．
∴BC=2．
∴OD=
3
．
∴A(0，2+
3
)，B（-1，0），C（1，0），O(0，
3
)．
∴
CO
=(-1，
3
)，
CA
=(-1，2+
3
)，
CB
=(-2，0)．
∵
CO
=λ1
CA
+λ2
CB
，
∴(-1，
3
)=λ1(-1，2+
3
)+λ2（-2，0）．
∴
-1=-λ1-2λ2
3
=(2+
3
)λ1
，解得
λ1=2
3
-3
λ2=2-
3
．
∴λ1λ2=(2
3
-3)(2-
3
)=7
3
-12．
故答案为：7
3
-12．
点评：本题考查了向量的坐标运算、共面向量基本定理，考察了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
2
3
，且过点（3
3
，
5
），点A、B分别是椭圆C 长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求点P的坐标；
（3）设M是直角三角PAF的外接圆圆心，求椭圆C上的点到点M的距离d的最小值．
关于x的不等式x2+mx-2＜0解集为（-1，2），若复数z1=m+2i，z2=cosα+isinα，且z1•z2为纯虚数，则tan2α=
 
．
若方程x3=3x-1的3个根分别是x1、x2、x3，其中x1＜x2＜x3，则x2所在的区间为
 
．
设集合A={y|y=x2-1}，B={y|y=1-x2}，则A∩B=
 
．
已知下列命题，写出所有正确的命题的题号：
 
．：
①函数y=tanx在第一象限是增函数；
②函数y=cos2（
π
4
-x）是偶函数；  
③函数y=4sin（2x-
π
3
）的一个对称中心是（
π
6
，0）；
④函数y=sin（x+
π
4
）在闭区间[-
π
2
，
π
2
]上是增函数．
如图，F1，F2为椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆E于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且|y1-y2|=4，若△AF1B的面积为2
3
a，则椭圆E的离心率为
 
．
设f（x）=x3+bx+c是[-1，1]上的增函数，且f（-
1
2
）•f（
1
2
）＜0，则方程f（x）=0在[-1，1]内有
 
个实根．
过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆O：x2+y2=b2的一条切线，切点为A，双曲线右顶点为B，若
|AF|，|OF|，|BF|成等差数列，则双曲线的离心率为（　　）
A、
2
B、
3
C、2
D、3

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