题目内容
如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）求点P的坐标；
（3）设M是直角三角PAF的外接圆圆心，求椭圆C上的点到点M的距离d的最小值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用离心率为
，且过点（3
，
），建立方程，可得a2=36，b2=20，从而可求椭圆G的方程；
（2）由（1）可得点A（-6，0），B（6，0），F（0，4），设点P（x，y），则
=（x+6，y），
=（x-4，y），利用PA⊥PF，点P在椭圆上，可得点P的坐标；
（3）确定M的坐标，求出椭圆上的点（x，y）到点M的距离，利用配方法，即可求得结论．
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
（2）由（1）可得点A（-6，0），B（6，0），F（0，4），设点P（x，y），则
| AP |
| FP |
（3）确定M的坐标，求出椭圆上的点（x，y）到点M的距离，利用配方法，即可求得结论．
解答：
解：（1）设椭圆C的方程为
+
=1，则
∵离心率为
，且过点（3
，
），
∴
=
，
+
=1，
∴a2=36，b2=20，
∴椭圆C的方程
+
=1；
（2）由（1）可得点A（-6，0），B（6，0），F（0，4）…（6分）
设点P（x，y），则
=（x+6，y），
=（x-4，y），
∵PA⊥PF，
∴（x+6）（x-4）+y2=0
与椭圆方程联立得2x2+9x-18=0，
∴x=
或x=-6．由于y＞0，只能x=
，于是y=
…（8分）
∴点P的坐标是（
，
） …（9分）
（3）∵M是直角三角PAF的外接圆圆心，
∴M（-1，0），
∴椭圆上的点（x，y）到点M的距离d=
=
，
∵-6≤x≤6，
∴x=-
时，d取得最小值
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵离心率为
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
∴
| c |
| a |
| 2 |
| 3 |
| 27 |
| a2 |
| 5 |
| b2 |
∴a2=36，b2=20，
∴椭圆C的方程
| x2 |
| 36 |
| y2 |
| 20 |
（2）由（1）可得点A（-6，0），B（6，0），F（0，4）…（6分）
设点P（x，y），则
| AP |
| FP |
∵PA⊥PF，
∴（x+6）（x-4）+y2=0
与椭圆方程联立得2x2+9x-18=0，
∴x=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
5
| ||
| 2 |
∴点P的坐标是（
| 3 |
| 2 |
5
| ||
| 2 |
（3）∵M是直角三角PAF的外接圆圆心，
∴M（-1，0），
∴椭圆上的点（x，y）到点M的距离d=
| (x+1)2+y2 |
|
∵-6≤x≤6，
∴x=-
| 9 |
| 4 |
5
| ||
| 2 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查点到直线的距离，考查配方法的运用，属于中档题．
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