Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆O：x²+y²=b²的一条切线，切点为A，双曲线右顶点为B，若
|AF|，|OF|，|BF|成等差数列，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用|AF|，|OF|，|BF|成等差数列，可得|AF|=c-a，根据过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆O：x²+y²=b²的一条切线，切点为A，利用勾股定理建立方程，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：∵|AF|，|OF|，|BF|成等差数列，
∴2c=|AF|+a+c，
∴|AF|=c-a，
∵过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆O：x²+y²=b²的一条切线，切点为A，
∴c²=b²+（c-a）²，
∴a=c-a，
∴2a=c，
∴e=

c

a

=2．
故选：C．

点评：本题考查双曲线的离心率，考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．