Question

已知下列命题，写出所有正确的命题的题号：

 

．：
①函数y=tanx在第一象限是增函数；
②函数y=cos²（

π

4

-x）是偶函数；  
③函数y=4sin（2x-

π

3

）的一个对称中心是（

π

6

，0）；
④函数y=sin（x+

π

4

）在闭区间[-

π

2

，

π

2

]上是增函数．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：直接举反例说明命题①④错误；化简函数y=cos²（

π

4

-x），然后代值验证说明②错误；由x=

π

6

时y=4sin（2x-

π

3

）=0说明命题③正确．

解答： 解：对于①，取x1=

π

3

，x2=

9π

4

，

π

3

＜

9π

4

，但tan

π

3

＞tan

9π

4

．
∴函数y=tanx在第一象限不是增函数．
命题①错误；
对于②，∵函数y=cos²（

π

4

-x）=

1+cos( π 2 -2x)

2

=

1

2

(sin2x+1)．
当x=

π

4

时，y=1．当x=-

π

4

时，y=0．
∴函数y=cos²（

π

4

-x）是非奇非偶函数．
命题②错误；
对于③，当x=

π

6

时，y=4sin（2x-

π

3

）=0．
∴函数y=4sin（2x-

π

3

）的一个对称中心是（

π

6

，0）．
命题③正确；
对于④，x=

π

4

时，y=1．x=

π

2

时，y=

2

2

．
∴函数y=sin（x+

π

4

）在闭区间[-

π

2

，

π

2

]上是增函数错误．
故正确命题的题号是③．
故答案为：③

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象与性质，属中档题．