Question

7．已知数列{a_n}中，a₁=5，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2，n∈N^*）
（1）证明：数列{$\frac{{{a_n}-1}}{2^n}$}为等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=lg$\frac{{{a_n}-1}}{n}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2，n∈N^*）可得：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1（n≥2，n∈N^*），利用等差数列的定义可证数列{$\frac{{{a_n}-1}}{2^n}$}为等差数列，再求得其首项$\frac{{a}_{1}-1}{{2}^{1}}$=2，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由a_n=（n+1）•2ⁿ+1，b_n=lg$\frac{{{a_n}-1}}{n}$，可求得b_n=lg（n+1）-lgn+nlg2，利用分组求和法可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 （1）证明：∵a₁=5，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2，n∈N^*），
a_n-1=2（a_n-1-1）+2ⁿ（n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$+1，即$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1，
∴数列{$\frac{{{a_n}-1}}{2^n}$}是公差为1的等差数列，又a₁=5，$\frac{{a}_{1}-1}{{2}^{1}}$=2，
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2+（n-1）×1=n+1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ+1．
（2）解：∵b_n=lg$\frac{{{a_n}-1}}{n}$=lg$\frac{（n+1{）•2}^{n}}{n}$=lg（n+1）-lgn+nlg2，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=[（lg2-lg1）+（lg3-lg2）+…+（lg（n+1）-lgn）]+lg2•（1+2+3+…+n）
=[lg（n+1）-lg1]+$\frac{n（n+1）}{2}$lg2
=lg（n+1）+$\frac{n（n+1）}{2}$lg2．

点评 本题考查数列的求和，考查等差关系的确定及其通项的求法，突出考查等价转化思想与分组求和法的应用，属于中档题．