Question

15．已知函数f（x）=x²-3x+m+1nx（m∈R）
（1）求f（x）的单调增区间与减区间；
（2）填表（不要求过程，只填结果即可）

m的范围
方程f（x）=0的解得个数	1	2	3

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间即可；
（2）由f（x）=0，得：m=-x²+3x-lnx，令g（x）=-x²+3x-lnx，求出g（x）的极值，从而求出m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-3x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）递增，在（$\frac{1}{2}$，1）递减；
（2）令f（x）=0，得：m=-x²+3x-lnx，
令g（x）=-x²+3x-lnx，g′（x）=-2x+3-$\frac{1}{x}$=$\frac{（-2x+1）（x-1）}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{2}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴g（x）_极小值=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$+ln2，g（x）_极大值=g（1）=2，
∴方程f（x）=0有1个解时，m＞2或m＜$\frac{5}{4}$+ln2，
方程f（x）=0有2个解时，m=2或m=$\frac{5}{4}$+ln2，
方程f（x）=0有3个解时，$\frac{5}{4}$+ln2＜m＜2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．