Question

19．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个非零向量，则下列哪个描述是正确的（　　）

• A． 若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$
• B． 若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|
• C． 若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，则存在实数λ使得$\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow{b}$
• D． 若存在实数λ使得$\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|

Answer 1

分析 利用向量的垂直判断矩形的对角线长度相等，判断B错误；通过特例直接判断A、D不正确；|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是方向相反的向量，故这2个向量共线，故存在实数λ使得$\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow{b}$，故C正确．从而得出结论．

解答 解：不妨令$\overrightarrow{a}$=（-3，0），$\overrightarrow{b}$=（1，0），尽管满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，但不满足则$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$，故A不正确，
若$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，则有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，即以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为邻边的矩形的对角线长相等，故|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|不正确，即B不正确，
若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是方向相反的向量，故这2个向量共线，故存在实数λ使得$\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow{b}$，故C正确，
不妨令$\overrightarrow{a}$=（-3，0），$\overrightarrow{b}$=（1，0），尽管满足存在实数λ，使得得$\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow{b}$，但不满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，故D不正确．
故选：C．

点评 本题考查向量的关系的综合应用，特例法的具体应用，考查计算能力，属于基础题．