Question

16．如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AC=BD，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，$BC=\sqrt{3}$，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）证明：当点E在边BC上移动时，总有EF⊥AF；
（2）当CE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．

Answer 1

分析 （1）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系，利用向量法能证明当点E在边BC上移动时，总有EF⊥AF．
（2）求出平面PDE的一个法向量，由此利用向量法能求出CE=$\sqrt{2}$时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．

解答 证明：（1）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系
则可得P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），D（$\sqrt{3}$，0，0），
设BE=x，则E（x，1，0），∴$\overrightarrow{PE}$=（x，1，-1）
得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{AF}$=x•0+1×$\frac{1}{2}$+（-1）×$\frac{1}{2}$=0
∴$\overrightarrow{PE}$⊥$\overrightarrow{AF}$，
∴当点E在边BC上移动时，总有EF⊥AF．…（5分）
解：（2）$\overrightarrow{PD}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），设平面PDE的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（p，q，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=\sqrt{3}p-1=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=px+q-1=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，1），…（7分）
∵PA与平面PDE所成角的大小为45°，$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），
∴sin45°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}+（1-\frac{\sqrt{3}}{3}x）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（9分）
解得x=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$或x$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，
∵BE=x$∈（0，\sqrt{3}]$，…（11分）
∴BE=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，即当CE等于$\sqrt{2}$时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．  …（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查使线面角为45°的点的确定与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．