题目内容
关于函数f（x）=4sin（2x+
）（x∈R），有下列命题：其中正确的序号为
①若f（x1）=f（x2）=0，则x1-x2必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-
）；
③y=f（x）的图象关于点（-
，0）对称；
④y=f（x）的图象向右平移
个单位后的图象所对应的函数是偶函数；
⑤当x=-
+kπ，k∈Z时，函数有最小值-4．
| π |
| 3 |
①若f（x1）=f（x2）=0，则x1-x2必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-
| π |
| 6 |
③y=f（x）的图象关于点（-
| π |
| 3 |
④y=f（x）的图象向右平移
| 5π |
| 12 |
⑤当x=-
| 5π |
| 12 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：三角函数的图像与性质
分析：①由f（x1）=f（x2）=0，可得4sin(2x1+
)=0，4sin(2x2+
)=0．利用三角函数的性质可得x1-x2=
π，（k1，k2∈Z），即可判断出；
②利用诱导公式可得f（x）=4cos[
-(2x+
)]，即可判断出；
③由于f（-
）≠0，可得函数f（x）的图象关于点（-
，0）不对称；
④y=f（x）的图象向右平移
个单位后的图象所对应的函数是y=4sin[2(x-
)+
]=-4cos2x，即可判断出其奇偶性；
⑤计算函数f(-
+kπ)=4sin(-
)=-4，即可判断出．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| k1-k2 |
| 2 |
②利用诱导公式可得f（x）=4cos[
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
③由于f（-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
④y=f（x）的图象向右平移
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 3 |
⑤计算函数f(-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 2 |
解答：
解：①∵f（x1）=f（x2）=0，∴4sin(2x1+
)=0，4sin(2x2+
)=0．
∴2x1+
=k1π，2x2+
=k2π，（k1，k2∈Z）．
∴x1-x2=
π不一定是π的整数倍，
因此①不正确；
②y=f（x）=4sin（2x+
）=4cos[
-(2x+
)]=4cos(2x-
)，因此正确；
③∵f（-
）=4sin(-
×2+
)=4sin(-
)≠0，∴函数f（x）的图象关于点（-
，0）不对称，不正确；
④y=f（x）的图象向右平移
个单位后的图象所对应的函数是y=4sin[2(x-
)+
]=-4cos2x是偶函数，正确；
⑤当x=-
+kπ，k∈Z时，函数f(-
+kπ)=4sin[2(-
+kπ)+
]=4sin(-
)=-4，函数f（x）有最小值-4．正确．
综上可知：只有②④⑤正确．
故答案为：②④⑤．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴2x1+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴x1-x2=
| k1-k2 |
| 2 |
因此①不正确；
②y=f（x）=4sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
③∵f（-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
④y=f（x）的图象向右平移
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 3 |
⑤当x=-
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
综上可知：只有②④⑤正确．
故答案为：②④⑤．
点评：本题考查了三角函数的图象和性质，考查了解决问题的能力，属于中档题．
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