题目内容
已知F1、F2分别为椭圆C：：
+
=1（a＞b＞0）的左右两个焦点．若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN．求证：kpM、kpN是与点P位置无关的定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设点M（m，n）是椭圆：
+
=1上的任一点，则
+
=1，设P（x，y）是椭圆上任一点，推导出kPM•kPN=
=-
．由此证明kPM•kPN是与点P位置无关的定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| m2 |
| a2 |
| n2 |
| b2 |
| y2-n2 |
| x2-m2 |
| b2 |
| a2 |
解答：
解：设点M（m，n）是椭圆：
+
=1①上的任一点，
N（-m，-n）是M关于原点的中心对称点，则
+
=1②
又设P（x，y）是椭圆上任一点，且kPM•kPN存在．
则kPM=
，kPN=
，
∴kPM•kPN=
•
=
．
①-②得
+
=0，
∴
=-
，
∴kPM•kPN=-
．
∴kPM•kPN是与点P位置无关的定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
N（-m，-n）是M关于原点的中心对称点，则
| m2 |
| a2 |
| n2 |
| b2 |
又设P（x，y）是椭圆上任一点，且kPM•kPN存在．
则kPM=
| y-n |
| x-m |
| y+n |
| x+m |
∴kPM•kPN=
| y-n |
| x-m |
| y+n |
| x+m |
| y2-n2 |
| x2-m2 |
①-②得
| x2-m2 |
| a2 |
| y2-n2 |
| b2 |
∴
| y2-n2 |
| x2-m2 |
| b2 |
| a2 |
∴kPM•kPN=-
| b2 |
| a2 |
∴kPM•kPN是与点P位置无关的定值．
点评：本题考查椭圆的性质的应用，涉及到椭圆、直线方程、斜率等知识点，是中档题．
练习册系列答案
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A、
| ||
B、
| ||
| C、1 | ||
| D、2 |