Question

已知点M（x，y）满足

x≥1 x-y+1≥0 2x-y-2≤0

，则

2x+y

2x+6

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：将目标函数进行化简，利用两点间的斜率公式，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：设z=

2x+y

2x+6

，
则z=

2x+6+y-6

2x+6

=1+

y-6

2x+6

=1+

1

2

•

y-6

x+3

，
设k=

y-6

x+3

，
则z=1+

1

2

k，
只需求出k的最大值即可，
k=

y-6

x+3

的几何意义为动点P（x，y）与定点（-3，6）连线的斜率．
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知当点P位于点A时，直线AB的斜率k最大．
由

x-y+1=0 2x-y-2=0

，解得

x=3 y=4

，
即A（3，4），此时k=

y-6

x+3

=

4-6

3+3

=-

2

6

=-

1

3

，
∴z=1+

1

2

k=1+

1

2

×(-

1

3

)=1-

1

6

=

5

6

，
故答案为：

5

6

点评：本题主要考查线性规划的应用，以及分式的化简，利用两点间的斜率公式是解决本题的关键，本题综合性较强，难度较大．