题目内容
设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①若ab＞c2，则C＜
；
②若（a+b）c＜2ab，则C＞
；
③若a3+b3=c3，则C＜
；
④若a+b＞2c，则C＜
；
⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＞
．
①若ab＞c2，则C＜
| π |
| 3 |
②若（a+b）c＜2ab，则C＞
| π |
| 2 |
③若a3+b3=c3，则C＜
| π |
| 2 |
④若a+b＞2c，则C＜
| π |
| 3 |
⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＞
| π |
| 3 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：解三角形,不等式的解法及应用
分析：①利用余弦定理结合均值不等式求解角C；②取特殊值，在满足条件的情况下，判断角C的大小；③利用反证法，假设C≥
时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确；④利用余弦定理，再结合均值定理即可求角C；
⑤把不等式变形求出c2的范围，然后利用基本不等式结合余弦定理求解角C的范围．
| π |
| 2 |
⑤把不等式变形求出c2的范围，然后利用基本不等式结合余弦定理求解角C的范围．
解答：
解：①∵a2+b2≥2ab，
∴由余弦定理得cosC=
，
∵ab＞c2，
∴-c2＞-ab，
∴cosC=
＞
=
，即0＜C＜
，选项①正确；
②取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab，得C为锐角，选项②错误；
③假设C≥
，则c2≥a2+b2，
∴c3≥ca2+cb2＞a3+b3，与a3+b3=c3矛盾，
∴假设不成立．即C＜
成立，选项③正确；
④∵a+b＞2c，
∴（a+b）2＞4c2，即c2＜
，
∴cosC=
＞
=
，即0＜C＜
，选项④正确；
⑤由已知条件（a2+b2）c2＜2a2b2，得：c2＜
≤
=ab，
由余弦定理得：cosC=
＞
=
，
∴0＜C＜
，命题⑤错误．
则命题正确的是①③④．
故答案为：①③④．
∴由余弦定理得cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
∵ab＞c2，
∴-c2＞-ab，
∴cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 2ab-ab |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
②取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab，得C为锐角，选项②错误；
③假设C≥
| π |
| 2 |
∴c3≥ca2+cb2＞a3+b3，与a3+b3=c3矛盾，
∴假设不成立．即C＜
| π |
| 2 |
④∵a+b＞2c，
∴（a+b）2＞4c2，即c2＜
| (a+b)2 |
| 4 |
∴cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 2ab-ab |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
⑤由已知条件（a2+b2）c2＜2a2b2，得：c2＜
| 2a2b2 |
| a2+b2 |
| 2a2b2 |
| 2ab |
由余弦定理得：cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 2ab-ab |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
∴0＜C＜
| π |
| 3 |
则命题正确的是①③④．
故答案为：①③④．
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，解答的关键在于利用余弦定理与基本不等式的结合，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
“实数a=1”是“复数（1+ai）i（a∈R，i为虚数单位）的模为
”的（ ）
| 2 |
| A、充分非必要条件 |
| B、必要非充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不是充分条件又不是必要条件 |