Question

19．已知$\overrightarrow a$=（4，3），$\overrightarrow b$=（x，1），$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影为$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角及x分别是（　　）

• A． $\frac{π}{4}$，-7
• B． $\frac{π}{4}$，$\frac{1}{7}$
• C． $\frac{3π}{4}$，-7
• D． $\frac{π}{4}$，-7或$\frac{1}{7}$

Answer 1

分析 根据向量的投影公式计算即可．

解答 解：设则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ
∵$\overrightarrow a$=（4，3），$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影为$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$
∴|$\overrightarrow a$|cosθ=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{4}$
∵$\overrightarrow b$=（x，1），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4x+3，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∵$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影为$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4x+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴x=$\frac{1}{7}$，
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的投影公式，属于基础题．