Question

设函数f（x）=x|2x-a|，g（x）=

x2-a

x-1

，a＞0
（1）当a=8时，求f（x）在区间[3，5]上的值域；
（2）若?t∈[3，5]，?x_i∈[3，5]（i=1，2）且x₁≠x₂，使f（x_i）=g（t），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的值域

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）写出分段函数，确定函数的单调性，即可求f（x）在区间[3，5]上的值域；
（2）先确定6＜a＜10或12＜a＜20，再分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=8时，f（x）=x|2x-a|=

-2x2+8x，x＜4 2x2-8x，x≥4

，
∴函数f（x）在[3，4]上递减，在[4，5]上递增，
∵f（3）=6，f（4）=0，f（5）=10，
∴f（x）在区间[3，5]上的值域为[0，10]；
（2）f（x）=x|2x-a|=

-2(x- a 4 )2+ a2 8 ，x＜ a 2 2(x- a 4 )2- a2 8 ，x≥ a 2

∵a＞0，
∴f（x）在（-∞，

a

4

]上递增，在[

a

4

，

a

2

]上递减，在[

a

2

，+∞）上递增，
∴3＜

a

2

＜5或3＜

a

4

＜5，
∴6＜a＜10或12＜a＜20．
①6＜a＜10时，函数在[3，

a

2

]上递减，在[

a

2

，5]上递增，g（x）=

x2-a

x-1

在[3，5]上递增，
由题意得?t∈[3，5]，关于x的方程f（x）=g（t）在[3，5]上至少有两个不同的解等价于
g（3），g（5）]⊆（f（

a

2

），min{f（3），f（5）}，
即

g(3)＞f( a 2 ) g(5)≤f(3) g(5)≤f(5)

，

9-a 2 ＞0 25-a 4 ≤3(a-6) 25-a 4 ≤5(10-a)

，解得

97

13

≤a＜9；
②12＜a＜20时，g（3）=

9-a

2

＜0，而x∈[3，5]，f（x）≥0，方程f（x）=g（3）无解．
综上，实数a的取值范围为

97

13

≤a＜9．

点评：本题考查分段函数，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大．