Question

4．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁=2，D、E分别为棱AB、BC的中点，点F在棱AA₁上．
（1）证明：直线A₁C₁∥平面FDE；
（2）若F为棱AA₁的中点，求三棱锥A₁-DEF的体积．

Answer 1

分析 （1）根据题意，证明DE∥AC，再证A₁C₁∥DE，从而证明直线A₁C₁∥平面FDE；
（2）利用三棱锥A₁-DEF的体积为${V}_{{A}_{1}-ADE}$-V_F-ADE，即可求出结果．

解答 解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别为棱AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
又A₁C₁∥AC，
∴A₁C₁∥DE；
又DE?平面FDE，A₁C₁?平面FDE，
∴直线A₁C₁∥平面FDE；
（2）如图所示：
当F为棱AA₁的中点时，AF=$\frac{1}{2}$AA₁=1，
三棱锥A₁-ADE的体积为
${V}_{{A}_{1}-ADE}$=$\frac{1}{3}$S_△ADE•AA₁=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$DE•EC•AA₁=$\frac{1}{6}$×1×1×2=$\frac{1}{3}$，
三棱锥F-ADE的体积为
V_F-ADE=$\frac{1}{3}$S_△ADE•AF=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$DE•EC•$\frac{1}{2}$AA₁=$\frac{1}{6}$；
∴三棱锥A₁-DEF的体积为
${V}_{{A}_{1}-ADE}$-V_F-ADE=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了分割补形法求空间几何体的体积问题，是基础题目．