Question

9．设{a_n}为单调递增数列，首项a₁=4，且满足a_n+1²+a_n²+16=8（a_n+1+a_n）+2a_n+1•a_n，n∈N^*，则a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2n-1-a_2n=（　　）

• A． -2n（2n-1）
• B． -3n（n+3）
• C． -4n（2n+1）
• D． -6n（n+1）

Answer 1

分析 利用完全平方和与差公式化简递推公式，根据题意再开方得$\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}=2$，由等差数列的定义判断出：数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以2为首项和公差的等差数列，由等差数列的通项公式求出{$\sqrt{{a}_{n}}$}的通项公式，最后求出数列{a_n}的通项公式，得到${a}_{2n-1}-{a}_{2n}=4（2n-1）^{2}-4（2n）^{2}$=4-16n，则答案可求．

解答 解：∵a_n+1²+a_n²+16=8（a_n+1+a_n）+2a_n+1•a_n，
∴a_n+1²+a_n²-8（a_n+1+a_n）+16=2a_n+1•a_n，
∴（a_n+1+a_n）²-8（a_n+1+a_n）+16=4a_n+1•a_n，
则（a_n+1+a_n-4）²=4a_n+1•a_n，
∵{a_n}为a₁=4的单调递增数列，
∴a_n+1+a_n-4=2$\sqrt{{a}_{n+1}{a}_{n}}$，则a_n+1+a_n-2$\sqrt{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=4，
即$（\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}）^{2}=4$，则$\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}=±2$，
又{a_n}为a₁=4的单调递增数列，
则$\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}=2$，又a₁=4，则$\sqrt{{a}_{1}}=2$，
∴数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以2为首项和公差的等差数列，
∴$\sqrt{{a}_{n}}=2n$，则${a}_{n}=4{n}^{2}$．
∴${a}_{2n-1}-{a}_{2n}=4（2n-1）^{2}-4（2n）^{2}$=4-16n，
则a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2n-1-a_2n=4n-16（1+2+…+n）=4n-16×$\frac{n（n+1）}{2}$=-4n（2n+1）．
故选：C．

点评 本题考查数列的递推公式，等差数列的定义、通项公式的应用，考查化简、变形能力，属于中档题．