Question

12．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，令h（x）=f（x）•g（x），且对任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有$\frac{h（{x}_{1}）-h（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，g（1）=0，则不等式x•h（x）＜0的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意和奇函数的定义判断出h（x）的奇偶性，由函数单调性的定义判断出h（x）的单调性，结合条件画出函数图象的示意图，由图象求出不等式的解集．

解答 解：∵f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴h（x）=f（x）g（x）是R上的奇函数，
∵任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有$\frac{h（{x}_{1}）-h（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上为减函数，
则h（x）在（-∞，0）上也为减函数，
又g（1）=0，∴h（1）=f（1）g（1）=0，且h（-1）=0，
画出函数h（x）的图象示意图：
∴不等式x•h（x）＜0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞），
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查数形结合思想，属于中档题．