Question

19．学校游园活动有这样一个游戏：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）．
（1）求在1次游戏中：
①摸出3个白球的概率．
②获奖的概率．
（2）求在3次游戏中获奖次数X的分布列．（用数字作答）

Answer 1

分析 （1）①求出基本事件总数，计算摸出3个白球事件数，利用古典概型公式，代入数据得到结果；
②获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据①求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果；
（2）确定在3次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2、3，求出相应的概率，即可写出分布列．

解答 解：（1）①设“在1次游戏中摸到i个白球”为事件A_i（i=0，1，2，3），
则P（A₃）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}{•C}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{5}$；
②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A₂∪A₃，
又P（A₂）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{3}^{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，且A₂、A₃互斥，
所以P（B）=P（A₂）+P（A₃）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}$=$\frac{7}{10}$
（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3；
P（X=0）=${C}_{3}^{0}$•（1-$\frac{7}{10}$）³=$\frac{27}{1000}$，
P（X=1）=C₃¹•$\frac{7}{10}$•${（1-\frac{7}{10}）}^{2}$=$\frac{189}{1000}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{7}{10}）}^{2}$•（1-$\frac{7}{10}$）=$\frac{441}{1000}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$•${（\frac{7}{10}）}^{3}$=$\frac{343}{1000}$；
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{1000}$	$\frac{189}{1000}$	$\frac{441}{1000}$	$\frac{343}{1000}$

点评 本题考查了古典概型及其概率计算公式和离散型随机变量的分布列的应用问题，也考查了互斥事件和相互独立事件等基础知识，是基础题目．