Question

设P：

x2

1-2m

+

y2

m+2

=1表示双曲线，q：函数g（x）=3x²+2mx+m+

4

3

有两个不同的零点．
（1）若p为假命题，求实数m的取值范围，
（2）若p∧q，为假命题，pⅤq为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：（1）根据双曲线的标准方程，二次函数和x轴有两个交点时△的取值情况即可求出命题p，q下m的取值范围，从而求出p为假时m的取值范围；
（2）若p∧q为假命题，p∨q为真命题得到p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况下m的取值范围再求并集即可．

解答： 解：由命题p知（1-2m）（m+2）＜0，解得m＜-2，或m＞

1

2

；
由q得，△=4m2-12(m+

4

3

)＞0，解得m＜-1，或m＞4；
∴（1）若p为假命题，则-2≤m≤

1

2

；
∴此时，实数m的取值范围为[-2，

1

2

]；
（2）由p∧q为假命题，p∨q为真命题知，p，q一真一假；
∴

m＜-2，或m＞ 1 2 -1≤m≤4

，或

-2≤m≤ 1 2 m＜-1，或m＞4

；
解得

1

2

＜m≤4，或-2≤m＜-1；
∴实数m的取值范围为（

1

2

，4]∪[-2，-1）．

点评：考查双曲线的标准方程，零点的概念，以及二次函数图象和x轴交点情况和判别式△的关系，p∧q，p∨q真假和p，q真假的关系．