Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=-6，S₅=S₆．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{2^n-1•a_n}的前n项和为T_n，求不等式T_n-n•2ⁿ⁺¹+100＞0的解集．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据条件求出公差即可求{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法进行求和，解不等式即可

解答： 解：（1）在等差数列中，S₅=S₆．得a₆=0，
∵a₃=-6．∴d=

a6-a3

6-3

=2，
则{a_n}的通项公式a_n=a₆+（n-6）d=2n-12；
（2）T_n=（-10）•2⁰+（-8）•2¹+（-6）•2²+…+（2n-14）•2^n-2+（2n-12）•2^n-1，①
2T_n=（-10）•2¹+（-8）•2²+（-6）•2³+…+（2n-14）•2^n-1+（2n-12）•2ⁿ，②
①-②得-T_n=（-10）•+2•（2¹+2²+…+•2^n-1）-（2n-12）•2ⁿ=-10+2×

2(1-2n-1)

1-2

-（2n-12）•2ⁿ=-14-（n-7）•2ⁿ⁺¹，
则T_n=14+（n-7）•2ⁿ⁺¹，
故不等式T_n-n•2ⁿ⁺¹+100＞0等价为7•2ⁿ⁺¹＜114，
即2ⁿ⁺¹＜

114

7

=16

2

7

，
故不等式的解集为{1，2，3}．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及利用错位相减法进行求和，考查学生的计算能力．