Question

14．在平面直角坐标系xOy中，如图所示，已知椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0．
（Ⅰ）设动点P满足：|PF|²-|PB|²=4，求点P的轨迹；
（Ⅱ）设${x_1}=2，{x_2}=\frac{1}{3}$，求点T的坐标；
（Ⅲ）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关），并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求得A，B和F坐标，设P，根据两点之间的坐标公式，求得|PF|²，|PB|²，由|PF|²-|PB|²=4，整理求得$x=\frac{9}{2}$，即可求得点P的轨迹；
（Ⅱ）分别求得M和N坐标及AM和AN直线方程，联立即可求得点T的坐标；
（Ⅲ）设直线AT，BT的方程代入代入椭圆方程，求得M和N坐标，当x₁=x₂，求得m，求得MN的方程，求得点D，当x₁≠x₂，$m≠2\sqrt{10}$，求得直线MD和ND的斜率，由k_MD=k_ND，直线MN过点D（1，0），因此直线MN必过x轴上一定点D（1，0）．

解答 解：（Ⅰ）由题设得，A（-3，0），B（3，0），F（2，0），设动点P（x，y），
由|PF|²=（x-2）²+y²，|PB|²=（x-3）²+y²，
∵|PF|²-|PB|²=4
代入化简得，$x=\frac{9}{2}$．
故点P的轨迹为直线$x=\frac{9}{2}$．…（4分）
（Ⅱ）由x₁=2，$\frac{{{x_1}^2}}{9}+\frac{{{y_1}^2}}{5}=1$，y₁＞0得${y_1}=\frac{5}{3}$，则点$M（{2，\frac{5}{3}}）$，直线AM的方程为$y=\frac{1}{3}x+1$，
由${x_2}=\frac{1}{3}$，$\frac{{{x_2}^2}}{9}+\frac{{{y_2}^2}}{5}=1$，y₂＜0得${y_2}=-\frac{20}{9}$，则点$N（{\frac{1}{3}，-\frac{20}{9}}）$，直线AN的方程为$y=\frac{5}{6}x-\frac{5}{2}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{6}x-\frac{5}{2}}\\{y=\frac{1}{3}x+1}\end{array}}\right.⇒T（{7，\frac{10}{3}}）$…（8分）
（Ⅲ）证明：由题设知，直线AT的方程为：$y=\frac{m}{12}（{x+3}）$，直线BT的方程为：$y=\frac{m}{6}（{x-3}）$，
点M（x₁，y₁）满足$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}=\frac{m}{6}（{{x_1}-3}）}\\{\frac{{{x_1}^2}}{9}+\frac{{{y_1}^2}}{5}=1}\end{array}}\right.⇒{x_1}≠-3，{x_1}=\frac{{240-3{m^2}}}{{80+{m^2}}}，{y_1}=\frac{40m}{{80+{m^2}}}$；
点N（x₂，y₂）满足$\left\{{\begin{array}{l}{{y_2}=\frac{m}{6}（{{x_2}-3}）}\\{\frac{{{x_2}^2}}{9}+\frac{{{y_2}^2}}{5}=1}\end{array}}\right.⇒{x_2}≠-3，{x_2}=\frac{{3{m^2}-60}}{{20+{m^2}}}，{y_2}=\frac{-20m}{{20+{m^2}}}$；
若x₁=x₂，$\frac{{240-3{m^2}}}{{80+{m^2}}}$=$\frac{{3{m^2}-60}}{{20+{m^2}}}$且m＞0，得$m=2\sqrt{10}$，
此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）；
若x₁≠x₂，则$m≠2\sqrt{10}$，直线MD的斜率${k_{MD}}=\frac{40m}{{80+{m^2}}}÷（{\frac{{240-3{m^2}}}{{80+{m^2}}}-1}）=\frac{10m}{{40-{m^2}}}$，
直线ND的斜率${k_{ND}}=\frac{-20m}{{20+{m^2}}}÷（{\frac{{3{m^2}-60}}{{20+{m^2}}}-1}）=\frac{10m}{{40-{m^2}}}$，
∴k_MD=k_ND，
∴直线MN过点D（1，0）．
因此直线MN必过x轴上一定点D（1，0）．…（13分）

点评 本题考查考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查计算能力，属于难题．