题目内容
【题目】某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面
和两条长度相等的直线型路面
、
，桥面跨度
的长不超过
米，拱桥所在圆的半径为
米，圆心
在水面上，且和所在直线与圆分别在连结点
和
处相切.设
，已知直线型桥面每米修建费用是
元，弧形桥面每米修建费用是
元.
（1）若桥面（线段、和弧）的修建总费用为
元，求关于
的函数关系式；
（2）当为何值时，桥面修建总费用最低？
【答案】（1）
，
.（2）
【解析】
（1）设
为弧
的中点，连结
，
，
，通过解直角三角形以及弧长公式，求得
的长，由此计算出修建总费用
的表达式，根据
长度的限制，和圆的直径，求得
的取值范围.
（2）利用导数求得的单调区间，进而求得当为何值时，取得最小值.
（1）设为弧的中点，连结，，，则
在
中，
.
又因为
，所以弧
长为
，
所以
当
时，
；当
时，
，所以
所以，.
（2）设
，则
，令
得
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数单调递增；
所以当时，函数取得最小值，此时桥面修建总费用最低.
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