Question

【题目】已知函数．

（1）若关于x的方程仅有1个实数根，求实数的取值范围；

（2）若是函数的极大值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由仅有1个实数根可考虑利用参变分离得,再分析函数的单调性与极值最值,画出图像分析何时仅有一根即可.
(2)表达出的函数式,求导后再根据极值点的大小关系分的不同类进行讨论即可.

（1）依题意,,显然不是方程的根,故,令,则,

故函数在和上单调递增,且当时,,当x从负方向趋于0时以及时,,当x从正方向趋于0时,,

作出函数的图象如图所示,观察可知,,即实数的取值范围为．

（2）,则．

①若,则当时,,,,所以；

当时,,,所以．所以在处取得极大值．

②若,则当时,,,所以．所以不是的极大值点．

综上所述,实数a的取值范围是．