Question

【题目】将边长为的正方形沿对角线折叠,使得平面平面,平面,是的中点,且．

(1)求证：；

(2)求二面角的大小．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

(1) 以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,

求出点三点的坐标,通过是的中点,可得,利用面面垂直的性质定理可得平面,进而可以求出点的坐标,最后利用向量法可以证明出；

(2)分别求出平面、平面的法向量,最后利用空间向量夹角公式求出二面角的大小．

(1)证明：以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,

如图所示,则,,

取的中点并连接.

由题意得,

又平面平面,

平面,

,

,,

,

.

(2)解：设平面的法向量为,

则,,

令.

平面的法向量为,

所以，,

由得.

设二面角为,

则,

所以二面角的大小为.