Question

【题目】已知函数.

（1）若对任意的，都有恒成立，求的最小值；

（2）设，若为曲线上的两个不同的点，满足，且，使得曲线在点处的切线与直线平行，求证：.

Answer 1

【答案】(1)1；(2)证明见解析

【解析】

(1) 对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立aln（x+1）﹣x．

令h（x）＝aln（x+1）﹣x（x≥0）．利用导数的运算法则可得h′（x）．

分类讨论：当a≥1时，当a＜1时，只要验证最小值是否大于0即可得出．

(2)p（x）＝f（x﹣1）＝alnx，kAB．利用导数的运算法则可得．由于曲线y＝f（x）在x3处的切线与直线AB平行，可得．利用p′（x）在定义域内单调性质要证：x3．即证明．即证明．变形可得，令，则t＞1．要证明的不等式等价于（t+1）lnt＞2（t﹣1）．构造函数q（t）＝（t+1）lnt﹣2（t﹣1），（t＞1）．利用导数研究其单调性即可证明．

（1）恒成立恒成立，

令，

则，

（i）若，则恒成立，

函数在为单调递增函数，

恒成立，又，

符合条件.

（ii）若，由，可得，

解得和（舍去），

当时，；

当时，；

∴，这与h（x）≥0相矛盾，应舍去．

综上，，的最小值为1.

（2），，

又，，

，

由，易知其在定义域内为单调递减函数，

欲证证明，

即，

变形可得：，

令，原不等式等价于，

等价于，

构造函数，

则，

令，

当时，，

在上为单调递增函数，，

在上为单调递增函数，

在上恒成立，

成立，得证.