Question

【题目】已知椭圆，是它的上顶点，点各不相同且均在椭圆上.

（1）若恰为椭圆长轴的两个端点，求的面积；

（2）若，求证：直线过一定点；

（3）若，的外接圆半径为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）2（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）求得，由三角形的面积公式，即可求解面积；

（2）设，联立方程组，求得，又由，求得，得到，即可得到答案.

（3）由题意得：，求得线段的中垂线方程，求得外接圆圆心的纵坐标为，即可求解.

（1）由题意，椭圆，可得，

故的面积为.

（2）根椐对称性，定点必在轴上，利用特殊值可计算得定点为，

设，，，

联立方程组，整理得，

可得，

因为，所，即，

可得，

即，

可得，又因为，所以，

所以，可得必过定点.

（3）易知是等腰三角形，外接圆圆心在轴上，

由题意得：，

线段的中垂线为：

故外接圆圆心的纵坐标为：，所以，

所以.