Question

6．已知四边形ABCD中，E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，DA的中点，圆O为四边形EFGH的内切圆，则在正方形ABCD内投一点，该点落在圆O内的概率为$\frac{π}{8}$．

Answer 1

分析 由题意ABCD是正方形，设其边长为a，则${S}_{正方形ABCD}={a}^{2}$，推导出EFGH是边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，从而圆O的半径r=$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，在正方形ABCD内投一点，由几何概型得该点落在圆O内的概率p=$\frac{{S}_{圆O}}{{S}_{正方形ABCD}}$，由此能求结果．

解答 解：由题意ABCD是正方形，设其边长为a，则${S}_{正方形ABCD}={a}^{2}$，
∵E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，DA的中点，圆O为四边形EFGH的内切圆，
∴EFGH是边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，∴圆O的半径r=$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，
∴S_圆O=$π{r}^{2}=π×\frac{2}{16}{a}^{2}=\frac{π{a}^{2}}{8}$，
∴在正方形ABCD内投一点，该点落在圆O内的概率：
p=$\frac{{S}_{圆O}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\frac{π{a}^{2}}{8}}{{a}^{2}}$=$\frac{π}{8}$．
故答案为：$\frac{π}{8}$．

点评 本题考查概率的求法，涉及到正方形内切圆、几何概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．