Question

6．已知函数f（x）=e^x（x²-bx）（b∈R）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{8}{3}$）
• B． （-∞，$\frac{5}{6}$）
• C． （-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{6}$）
• D． （$\frac{8}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 利用导函数得到不等式成立问题，然后求解b的范围．

解答 解：∵函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上存在单调增区间，
∴函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上存在子区间使得不等式f′（x）＞0成立．
f′（x）=e^x[x²+（2-b）x-b]，
设h（x）=x²+（2-b）x-b，则h（2）＞0或h（$\frac{1}{2}$）＞0，
即4+2（2-b）-b＞0或$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$（2-b）-b＞0，
得b＜$\frac{8}{3}$．
故选：A

点评 本题考查函数的导数的综合应用，不等式的解法，考查计算能力．