题目内容

17．已知{an}是公比为2的等比数列，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，bn=nan，则数列{bn}的前n项和Tn=（n-1）2n+1．．

分析 首先利用已知得到关于等比数列的首项的等式，求出首项，然后得到数列{bn}的通项公式，根据其特点，利用错位相减法求和即可．

解答 解：由已知{an}是公比为2的等比数列，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，
所以6a2=a1+a3+7，即12a1=a1+4a1+7，解得a1=1，
所以${a}_{n}={2}^{n-1}$，
bn=nan=n2n-1，
所以数列{bn}的前n项和Tn=1+2•2+3•22+4•23+…+n2n-1，①
2Tn=2+2•22+3•23+4•24+…+（n-1）2n-1+n2n，②
①-②得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n2n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}-n{2}^{n}$，
所以Tn=（n-1）2n+1．
故答案为：（n-1）2n+1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式求法以及错位相减法求数列前n项和．

练习册系列答案
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7．如果a＜b，那么下列不等式可能正确的是（　　）
A．a3＞b3B．a2＞b2C．lna＞lnbD．ea＞eb
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若3a9-a11为常数，则以下各数中一定为常数的是（　　）
A．S14B．S15C．S16D．S17
5．sin15°的值为（　　）
A．$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$B．$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$C．$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$D．$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
12．若对任意实数x，不等式x2-mx+（m-1）≥0恒成立
（1）求实数m的取值集合；
（2）设a，b是正实数，且n=（a+$\frac{1}{b}$）（mb+$\frac{1}{ma}$），求n的最小值．
2．设函数f（x）=$\frac{2x}{x+1}$（x＞0），观察：
f1（x）=f（x）=$\frac{2x}{x+1}$，
f2（x）=f（f1（x））=$\frac{4x}{3x+1}$，
f3（x）=f（f2（x））=$\frac{8x}{7x+1}$，
f（x）=f（f3（x））=$\frac{16x}{15x+1}$，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f（fn-1（x））=$\frac{{2}^{n}x}{（{2}^{n}-1）x+1}$．
9．直线x=$\frac{π}{12}$是函数y=asin3x+cos3x的一条对称轴，则a=1．
6．已知函数f（x）=ex（x2-bx）（b∈R）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（　　）
A．（-∞，$\frac{8}{3}$）B．（-∞，$\frac{5}{6}$）C．（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{6}$）D．（$\frac{8}{3}$，+∞）
1．若y=-$\frac{1}{2}$x2+bln（x+2）在（-1，+∞）上是单调减函数，则b的范围是（　　）
A．[-1，+∞）B．（-1，+∞）C．（-∞，-1）D．（-∞，-1]

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