Question

已知函数f（x）=Asin（

x

2

+φ）（ A＞0，0＜φ＜π）的最大值是2，且f（0）=2．
（1）求φ的值；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f（2α）=

6

5

，f（2β+π）=-

10

13

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,两角和与差的正弦函数,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）由函数f（x）的最大值是2，A＞0可求得A=2，由f（0）=2及0＜φ＜π即可求得φ的值；
（2）先求得f（x）的解析式，由已知即可求得cosα=

3

5

，sinβ=

5

13

，从而可得sinα，cosβ，即可由两角和的正弦公式求sin（α+β）的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）的最大值是2，A＞0
∴A=2…（2分）
∵f（0）=2sinφ=2
∴sinφ=1…（3分）
又∵0＜φ＜π
∴φ=

π

2

…（4分）
（2）由（1）可知f(x)=2sin(

x

2

+

π

2

)=2cos

x

2

…（6分）
∵f(2α)=2cosα=

6

5

∴cosα=

3

5

…（7分）
∵f(2β+π)=2cos(β+

π

2

)=-2sinβ=-

10

13

∴sinβ=

5

13

…（8分）
∵α，β∈[0，

π

2

]
∴sinα=

1-cos2α

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，cosβ=

1-sin2β

=

1-( 5 13 )2

=

12

13

…（10分）
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…（11分）=

4

5

×

12

13

+

3

5

×

5

13

=

63

65

…（12分）

点评：本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于中档题．