Question

某校举行12•9爱国知识竞赛，竞赛规则是：每位选手有两种方式可供选择：方式一：回答三个关于12•9的历史知识试题；方式二：回答两个社会主义核心价值观的综合试题．方式一答对一个得3分，答错得0分；方式二答对一个得2分，答错得0分．已知小李在两种方式中答对每题的概率分别是

1

4

和p（0＜p＜1）．
（1）若小李选择方式一，求小李至少得3分的概率；
（2）若将两种方式得分的数学期望高者作为选择的标准，如果小李最终选择了方式二，求p的取值范围．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）小李选择方式一，小李至少得3分是指小李至少答对一个题，由此能求出小李至少得3分的概率．
（2）小李选择方式一，答对题的个数X～B（3，

1

4

），得分ξ的可能取值为0，3，6，9，由此能求出Eξ=

19

8

，小李选择方式二，答对题的个数Y～B（2，p），得分η的可能取值为0，2，4，由此能求出Eη=4p，由此能求出p的取值范围．

解答： 解：（1）小李选择方式一，小李至少得3分是指小李至少答对一个题，
∴小李至少得3分的概率：
P=1-（1-

1

4

）（1-

1

4

）（1-

1

4

）=

37

64

．
（2）小李选择方式一，答对题的个数X～B（3，

1

4

），
得分ξ的可能取值为0，3，6，9，
P（ξ=0）=P（X=0）=

C

0 3

(

3

4

)3=

27

64

，
P（ξ=3）=P（X=1）=

C

1 3

(

1

4

)(

3

4

)2=

27

64

，
P（ξ=6）=P（X=2）=

C

2 3

(

1

4

)2(

3

4

)=

9

64

，
P（ξ=9）=P（X=3）=

C

3 3

(

1

4

)3=

1

64

，
∴方式一得分的数学期望Eξ=0×

27

64

+3×

27

64

+6×

9

64

+9×

1

64

=

19

8

，
小李选择方式一，答对题的个数Y～B（2，p），
得分η的可能取值为0，2，4，
P（η=0）=P（Y=0）=

C

0 2

（1-p）²=（1-p）²，
P（η=2）=P（Y=1）=

C

1 2

p(1-p)=2p(1-p)，
P（η=4）=P（Y=2）=

C

2 2

p2=p²，
∴方式二得分的数学期望Eη=0×（1-p）²+2×2p（1-p）+4p²=4p，
∵将两种方式得分的数学期望高者作为选择的标准，小李最终选择了方式二，
∴4p＞

19

8

，解得p＞

19

32

，又0≤p≤1，
∴p的取值范围是（

19

32

，1]．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．