题目内容
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC．（1）求证：AC⊥A1B；
（2）求三棱锥C1-ABA1的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）取AC中点O，连A1O，BO，由已知得A1O⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面A1OB，由此能证明AC⊥A1B．
（2）由VC1-ABA 1=VB-AA1C1，利用等积法能求出三棱锥C1-ABA1的体积．
（2）由VC1-ABA 1=VB-AA1C1，利用等积法能求出三棱锥C1-ABA1的体积．
解答：
（1）证明：取AC中点O，连A1O，BO．
∵AA1=A1C，∴A1O⊥AC，…1分
又AB=BC，∴BO⊥AC，…2分
∵A1O∩BO=O，∴AC⊥平面A1OB，…3分
又A1B?平面A1OB，…4分
∴AC⊥A1B…5分
（2）解：由条件得：VC1-ABA 1=VB-AA1C1…6分
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，
AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，
∴OB=
，OA=
，S△AA1C1=
…9分
∴VC1-ABA 1=VB-AA1C1=
•S△AA1C1•OB…10分
=
．…12分
∵AA1=A1C，∴A1O⊥AC，…1分
又AB=BC，∴BO⊥AC，…2分
∵A1O∩BO=O，∴AC⊥平面A1OB，…3分
又A1B?平面A1OB，…4分
∴AC⊥A1B…5分
（2）解：由条件得：VC1-ABA 1=VB-AA1C1…6分
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，
AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，
∴OB=
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∴VC1-ABA 1=VB-AA1C1=
| 1 |
| 3 |
=
| ||
| 3 |
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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