Question

19．数列{a_n}满足${a_1}+2a_2^{\;}+{2^2}{a_3}+…+{2^{n-1}}{a_n}={n^2}$，则a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 根据题干条件求出a₁+2a₂+2²a3+…+2^n-2a_n-1=（n-1）²，与题干等式相减即可求出数列{a_n}的表达式．

解答 解：∵a₁+2a₂+2²a3+…+2^n-1a_n=n²…①，
∴a₁+2a₂+2²a3+…+2^n-2a_n-1=（n-1）²…②，
①-②得2^n-1a_n=2n-1，
∴a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
当n=1时，a₁=$\frac{1}{1}$=1=1²，
∴a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
故答案为：$\frac{2n-1}{{{2^{n-1}}}}$

点评 本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出a₁+2a₂+2²a3+…+2^n-2a_n-1=（n-1）²，此题比较简单．