Question

8．已知函数f（x）=|x²-x|+|x²+$\frac{1}{x}$|（x≠0）．
（1）求证：f（x）≥2；
（2）若?x∈[1，3]，使f（x）≥$\frac{ax+1}{x}$成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的性质证明即可；
（2）问题等价于2x²-x≥a，求出2x²-x的范围，从而求出a的范围即可．

解答 证明：（1）f（x）=|x²-x|+|x²+$\frac{1}{x}$|≥|x²-x-（x²+$\frac{1}{x}$）|=|x+$\frac{1}{x}$|=|x|+|$\frac{1}{x}$|≥2，
当且仅当x=±1时取“=”，
∴f（x）≥2；
解：（2）当x∈[1，3]时，x²-x≥0，x²+$\frac{1}{x}$＞0，
∴f（x）=2x²-x+$\frac{1}{x}$，
∴f（x）≥$\frac{ax+1}{x}$等价于2x²-x≥a，
当x∈[1，3]时，2x²-x∈[1，15]，
若?x∈[1，3]，使f（x）≥$\frac{ax+1}{x}$成立，则a≤15，
故实数a的范围是（-∞，15]．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查转化思想，是一道中档题．