Question

3．给定两个命题P：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根；
（1）“a=0”是P的什么条件？
（2）如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=0，求出P成立的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
（2）根据复合命题之间的关系分P真Q假和P假Q真，进行求解即可．

解答 解：（1）若a=0，ax²+ax+1＞0等价为1＞0恒成立，
若a≠0，则ax²+ax+1＞0恒成立等价为判别式△=a²-4a＜0，且a＞0，
则0＜a＜4，综上，P：0≤a＜4，即“a=0”是P的充分不必要条件；（答充分条件也对）        …（2分）
（2）对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立$?a=0或\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△＜0\end{array}\right.$?0≤a＜4；                                             …（5分）
关于x的方程x²-x+a=0有实数根$?1-4a≥0?a≤\frac{1}{4}$；   …（7分）
如果P正确，且Q不正确，有$0≤a＜4，且a＞\frac{1}{4}∴\frac{1}{4}＜a＜4$；   …（9分）
如果Q正确，且P不正确，有$a＜0或a≥4，且a≤\frac{1}{4}∴a＜0$． …（11分）
所以实数a的取值范围为$（{-∞，0}）∪（{\frac{1}{4}，4}）$．                    …（12分）

点评 本题主要考查复合命题的真假关系，利用分类讨论是解决本题的关键．