题目内容
在△ABC中，O是其外接圆的圆心，其两边中线的交点是G，两条高线的交点是H，给出下列结论或命题：
（1）动点P满足
=λ（
+
）（λ≠0），则动点P的轨迹一定过点H；
（2）动点P在△ABC所在平面内，则点G与P重合时，使PA2+PB2+PC2的值最小；
（3）动点P满足
=λ（
+
）（λ≠0），则点P的轨迹一定过点O；
（4）GH=2OG．
其中正确结论或命题的序号是 ．（填上所有正确结论或命题的序号）
（1）动点P满足
| AP |
| ||
|
|
| ||
|
|
（2）动点P在△ABC所在平面内，则点G与P重合时，使PA2+PB2+PC2的值最小；
（3）动点P满足
| AP |
| ||
|
|
| ||
|
|
（4）GH=2OG．
其中正确结论或命题的序号是
考点：向量加减混合运算及其几何意义
专题：平面向量及应用
分析：利用重心的性质及向量加减法的几何意义，对四个结论逐一进行判断．
解答：
解：①中，动点P满足
=λ（
+
），
∴AP平分∠BAC，
∴P点在∠BAC的角平分线上，不一定过点H，故①错误．
②中，点P为△ABC内的一点，且使得
2+
2+
2取得最小值，
根据重心的性质，可得②正确；
③中，
•
=λ（
+
）•
=λ（-|
|+|
|）
=0
∴
⊥
∴点P一定在高线上，不一定过点O．故③错．
④在三角形ABC的外接圆中，过点C作直径CM，连MA，MB，则有MB平行且等于2OF，
因为MB⊥BC，AD⊥BC，MA⊥AC，BE⊥AC，所以四边形AMBH是平行四边形，
因此AH=MB=2OF，连接OH交AF于G，三角形OFG与三角形HAG相似，可证G就是重心，所以GH=2OG．故④正确．
故答案为：②④．
| AP |
| ||
|
|
| ||
|
|
∴AP平分∠BAC，
∴P点在∠BAC的角平分线上，不一定过点H，故①错误．
②中，点P为△ABC内的一点，且使得
| AP |
| BP |
| CP |
根据重心的性质，可得②正确；
③中，
| AP |
| BC |
| ||
|
|
| ||
|
|
| BC |
=λ（-|
| BC |
| BC |
=0
∴
| AP |
| BC |
∴点P一定在高线上，不一定过点O．故③错．
④在三角形ABC的外接圆中，过点C作直径CM，连MA，MB，则有MB平行且等于2OF，
因为MB⊥BC，AD⊥BC，MA⊥AC，BE⊥AC，所以四边形AMBH是平行四边形，
因此AH=MB=2OF，连接OH交AF于G，三角形OFG与三角形HAG相似，可证G就是重心，所以GH=2OG．故④正确．
故答案为：②④．
点评：本题主要考查了三角形的重心，垂心，外心的性质，以及向量加减法的几何意义，属于难题．
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