Question

已知椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)，
（1）若椭圆C的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：（x-3）²+（y-1）²=3相切，求椭圆C的方程．
（2）若Rt△ABC以A（0，1）为直角顶点，边AB，BC与椭圆交于两点B，C，求Rt△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知直线AF的方程为x+cy-c=0，

|3+c-c|

c2+1

=

3

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设AB的方程y=kx+1，则AC的方程为y=-

1

k

x+1．由

y=kx+1 x2 a2 +y2=1

得xB=-

2a2k

1+a2k2

，由

y=- 1 k x+1 x2 a2 +y2=1

得xC=

2a2k

a2+k2

，由此能求出Rt△ABC面积的最大值．

解答： 解：（1）圆M：（x-3）²+（y-1）²=3的圆心M（3，1），半径r=

3

，
由题意知直线AF的方程为

x

c

+y=1，
即x+cy-c=0，
由直线AF与圆M相切，得

|3+c-c|

c2+1

=

3

，
∴c²=2，a²=c²+1=3，
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1
（2）∵Rt△ABC以A（0，1）为直角顶点，
∴设AB的方程y=kx+1，则AC的方程为y=-

1

k

x+1．
由

y=kx+1 x2 a2 +y2=1

得：（1+a²k²）x²+2a²kx=0，
∴xB=-

2a2k

1+a2k2

，
由

y=- 1 k x+1 x2 a2 +y2=1

得：（a²+k²）x²-2a²kx=0，
∴xC=

2a2k

a2+k2

，
从而有|AB|=

(- 2a2k 1+a2k2 )2+(- 2a2k2 1+a2k2 )2

=

2a2k

1+a2k2

1+k2

，
|AC|=

( 2a2k a2+k2 )2+(- 2a2 a2+k2 )2

=

2a2

a2+k2

1+k2

，
于是 S △ABC=

1

2

|AB||AC|=2a4

k(1+k2)

(1+a2k2)(a2+k2)

=2a4

k+ 1 k

a2(k2+ 1 k2 )+a4+1

．
令t=k+

1

k

≥2，有S △ABC=

2a4t

a2t2+(a2-1)2

=

2a4

a2t+ (a2-1)2 t

，
a2t+

(a2-1)2

t

≥2a(a2-1)，t=

a2-1

a

时等号成立．
∵t≥2，∴当

a2-1

a

≥2，即a≥1+

2

时，
t=

a2-1

a

，(S△ABC)max=

a3

a2-1

，
∴当1＜a＜1+

2

时，

a2-1

a

＜2，
∴t=2时，（S_△ABC）_max=

4a4

(1+a2)2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数与方程思想的合理运用．