Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的上、下顶点分别为M，N点，P在椭圆C外，直线PM交椭圆于点A，若PN⊥NA，则点P的轨迹方程是（　　）

• A． y=x²+1（x≠0）
• B． y=x²+3（x≠0）
• C． y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1（y＞0，x≠0）
• D． y=3（x≠0）

Answer 1

分析 根据向量数量积的坐标运算，求得xx₀+（y₀+1）（y+1）=0，根据直线斜率公式，由A在椭圆方程，代入即可求得P的轨迹方程．

解答 解：由题意可知设P（x，y），（x≠0），由椭圆方程椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，A（x₀，y₀），M（0，1），N（0，-1），
由PN⊥NA，$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NP}$=0，即（x₀，y₀+1）（x，y+1）=0，则xx₀+（y₀+1）（y+1）=0，①
由直线P，C，A三点共线，$\frac{y-1}{x}$=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$，x=$\frac{{x}_{0}（y-1）}{{y}_{0}-1}$，②
代入将②代入①，x₀²（y-1）+（y₀²-1）（y+1）=0，
由A在椭圆上，则y₀²=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$，
代入整理得：y=3（x≠0），
点P的轨迹方程y=3（x≠0），
故选：D．

点评 本题考查椭圆的标准方程及性质，轨迹方程的求法，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．