Question

13．己知△ABC中，AB=2，AC=$\sqrt{3}$BC，则△ABC面积的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设BC=x，则△ABC面积 S=$\frac{1}{2}AB•BCsinB=xsinB$=$\sqrt{{x}^{2}（1-co{s}^{2}B）}$又cosB=$\frac{B{C}^{2}+A{B}^{2}=A{C}^{2}}{2BC}=\frac{2-B{C}^{2}}{2BC}=\frac{2-{x}^{2}}{x}$．
即S=$\frac{1}{2}\sqrt{-{x}^{4}+8{x}^{2}-4}=\frac{1}{2}\sqrt{-（{x}^{2}-4）^{2}+12}$即可求出最值．

解答 解：设BC=x，则△ABC面积 S=$\frac{1}{2}AB•BCsinB=xsinB$=$\sqrt{{x}^{2}（1-co{s}^{2}B）}$
又因为cosB=$\frac{B{C}^{2}+A{B}^{2}=A{C}^{2}}{2BC}=\frac{2-B{C}^{2}}{2BC}=\frac{2-{x}^{2}}{x}$．
即S=$\frac{1}{2}\sqrt{-{x}^{4}+8{x}^{2}-4}=\frac{1}{2}\sqrt{-（{x}^{2}-4）^{2}+12}$≤$\sqrt{3}$
故答案为：$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题．属于中档题．