Question

2．证明：若点O是△ABC的内心，则sinA$\overrightarrow{OA}$+sinB$\overrightarrow{OB}$+sinC$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 设O是O是△ABC的内任一点，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系．并设A（p，0），B（qcosα，sinα），C（rcosβ，-rsinβ），其中∠AOB=α，∠AOC=β，则∠BOC=2π-（α+β），利用向量的基本运算和不共线性质，即可求解证明．

解答 解：设O是△ABC的内任一点，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系．并设A（p，0），B（qcosα，qsinα），C（rcosβ，-rsinβ），其中∠AOB=α，∠AOC=β，则∠BOC=2π-（α+β），
点O是△ABC的内心，显然$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$不共线，由平面向量基本定理，可得$\overrightarrow{OA}=x$$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$．
则$\left\{\begin{array}{l}{P=xqcosα+yrcosβ}\\{0=xqsinα-yrsinβ}\end{array}\right.$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{psinβ}{qsin（α+β）}}\\{y=\frac{psinα}{rsin（α+β）}}\end{array}\right.$
可得：$qrsin（α+β）\overrightarrow{OA}=prsinβ\overrightarrow{OB}+pqsinα\overrightarrow{OC}$，
∵S_BOC：S_AOB：s_AOC=a：b：c，
即sinA：sinB：sinC=a：b：c．
∴sinA$\overrightarrow{OA}$+sinB$\overrightarrow{OB}$+sinC$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．

点评 本题考查了△ABC的内心的利用和向量的基本运算和不共线性质．属于中档题．