Question

11．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF的中点．
（1）求三棱锥M-CDE的体积；
（2）求证：DM⊥平面ACE．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥M-CDE的体积．
（2）求出$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{DM}$，由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DM}$=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{DM}$=0，得到AC⊥DM，AE⊥DM，由此能证明DM⊥平面ACE．

解答 解：（1）设AC∩BD=O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，
过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），E（-1，0，2），M（1，0，1），
$\overrightarrow{DE}$=（0，0，2），$\overrightarrow{DC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DM}$=（2，0，1），
∵$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}$=0，∴DE⊥DC，
∴S_△DEC=$\frac{1}{2}×DE×DC$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
设平面DEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），
∴M到平面DEC的距离h=$\frac{|\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，
∴三棱锥M-CDE的体积：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDE}×h$=$\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
证明：（2）A（0，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，$\sqrt{3}$，2），
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DM}$=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{DM}$=-2+2=0，
∴AC⊥DM，AE⊥DM，
∵AC∩AE=A，∴DM⊥平面ACE．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．