Question

13．如图，A，B，E是⊙O上的点，过E点的⊙O的切线与直线AB交于点P，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：
（1）DE=CE；
（2）$\frac{CA}{CE}=\frac{PE}{PB}$．

Answer 1

分析 （1）证明∠PEB=∠PAC，∠EPC=∠CPA，可得∠ECD=∠EDC，即可证明结论；
（2）证明△EPB∽△APE，得$\frac{PE}{PB}$=$\frac{PA}{PE}$，PC是∠APE的平分线，得$\frac{PA}{PE}$=$\frac{CA}{CE}$，即可证明结论．

解答 证明：（1）∵PE是⊙O的切线，
∴∠PEB=∠PAC，
∵PC是∠APE的平分线，
∴∠EPC=∠CPA，
∴∠PEB+∠EPC=∠PAC+∠CPA，
∴∠ECD=∠EDC，
∴DE=CE；
（2）∵∠PEB=∠PAC，∠EPB=∠APE，
∴△EPB∽△APE，
∴$\frac{PE}{PB}$=$\frac{PA}{PE}$，
∵PC是∠APE的平分线，
∴$\frac{PA}{PE}$=$\frac{CA}{CE}$，
∴$\frac{CA}{CE}=\frac{PE}{PB}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定与性质，考查角平分线的性质，属于中档题．