Question

已知函数f（x）=sin²（x-

π

6

）+sin²（x+

π

6

）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-

π

3

，

π

6

]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换、以及y=Asin（ωx+）的周期等于 T=

2π

ω

，可得结论．
（2）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin²（x-

π

6

）+sin²（x+

π

6

）=

1-cos(2x- π 3 )

2

+

1-cos(2x+ π 3 )

2

 
=1-

1

2

[cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

+cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

]=1-

1

2

•2cos2xcos

π

3

=1-

1

2

cos2x，
所以，函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
（2）因为x∈[-

π

3

，

π

6

]，所以 2x∈[-

2π

3

 

π

3

]，∴cos2x∈[-

1

2

，1]，f（x）∈[

1

2

，

5

4

]，
故函数f（x）的值域为[

1

2

，

5

4

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．